Релятивистская механика: формулы, принципы, примеры

Релятивистская механика, начиная с 20 века, заменила механику Ньютона при высоких скоростях движения. Она основана на двух началах, о которых пойдет речь ниже.

В экспериментах, проводимых с использованием высоких энергий, например, на Большом Адронном Коллайдере или при изучении тел вблизи черных дыр, релятивистское описание становится важным для правильной трактовки и предсказания исходов экспериментов.

Релятивистская механика – одна из базовых составляющих теории относительности, разработанной А. Эйнштейном. Теория связывает механику быстрого движения с проявлениями гравитации. Релятивистская механика предлагает новый взгляд на гравитационные взаимодействия.

Преобразования Галилея

Данные уравнения иллюстрируют переход между системами отсчета (стандартное сокращение: ИСО), которая двигается по отношению к первой со скоростью V. Предположим, что есть некоторая ИСО S с координатами (x, y, z, t) и S’ (x’, y’, z’, t’), движущаяся по отношению к S вдоль оси x. Тогда преобразования Галилея выражаются так:

x’ = x — vt

y’ = y

z’ = z

t’ = t

Обратные преобразования выглядят следующим образом:

x = x’ + vt’

y = y’

z = z’

t = t’

Эти формулы описывают изменения времени и координат при переходе от одной ИСО к другой.

Отметим, что эти преобразования предполагают, что скорости невелики по сравнению с световыми. Более того, они не учитывают эффекты, такие как замедление времени и уменьшение длины, которые возникают при достаточной быстроте объекта.

Потребность релятивистского описания возникла из-за явных противоречий между классической механикой Ньютона и результатами экспериментов, особенно в области электромагнетизма. Вот некоторые из основных факторов, приведших к необходимости разработки «альтернативной» релятивистской механики:

Начиная 20 века появилась возможность достигать скоростей, близких к скорости света, благодаря развитию физики частиц и появлению сверхтехнологичного оборудования. Однако классическая механика Ньютона не могла точно описать поведение объектов при таких высоких скоростях.
Электромагнетизм. Экспериментальные результаты в области электромагнетизма, особенно формулы Максвелла, предсказывали существование электромагнитных волн, которые распространяются с околосветовой скоростью. Классическая механика не была совместима с этими результатами и не могла объяснить, почему свет двигается с постоянной скоростью (на этот вопрос отвечает релятивистская механика).
В начале 20-го века физика столкнулась с проблемами, которые не могли быть объяснены классической механикой Ньютона. Знаменитые эксперименты Майкельсона-Морли не подтвердили существование эфира – среды, в которой должны были распространяться световые волны. Эти противоречия стали катализатором для революционных идей Эйнштейна.

Эйнштейн формализовал теорию при помощи математических уравнений – они описывают равноускоренное движение и взаимосвязь энергии, массы и скорости. Масса объекта в механике увеличивается со скоростью, а энергия преобразуется в массу и наоборот по знаменитому уравнению E = mc^2.

Специальная теория относительности революционизировала представления о времени, движении и механике в целом. Она стала фундаментальной основой для развития релятивистской механики, которая применяется в большом спектре областей, от физики элементарных частиц до астрофизики и космологии.

Принцип относительности Эйнштейна

Данный закон – один из основополагающих этой теории, разработанной Эйнштейном в 1905 г. Он утверждает, что физические законы механики одинаковы во всех ИСО (которые неподвижны или движутся равномерно прямолинейно).

Следствия:

Законы физики, включая электродинамику, формулируются таким образом, чтобы быть инвариантными при переходе между ИСО. Это означает, что физические уравнения должны быть одинаковыми в ИСО.
Быстрота распространения света в вакууме (c) является абсолютной постоянной величиной. Никакое тело не может двигаться быстрее света.
Для учета принципа относительности предложил математические уравнения, известные как преобразования Лоренца.

Закон относительности Эйнштейна — фундаментальное начало физики. Он открыл новое понимание пространства, времени и взаимодействия физических тел.

Релятивистская механика

Принципы:

Законы физики одинаковы для любых ИСО.
Скорость света в вакууме (c) — постоянная величина для всех ИСО, независимо от быстроты движения. Этот закон подразумевает, что невозможно двигаться быстрее света.
При приближении к скорости света, объекты сокращают свою длину, а время замедляется.
Преобразования Лоренца описывают, как пространственные координаты и время преобразуются при движении объекта.
Релятивистская механика включает концепции энергии и массы, связанные с известным уравнением Эйнштейна E = mc^2 (E – энергия, m – масса тела). Масса тела равна энергии, которую оно несет.

Сложение скоростей

В релятивистской механике существует особый способ сложения скоростей, отличающийся от механики Ньютона. В последней они складываются векторно, но в релятивистской механике учитывается специальная теория относительности – она вводит новые правила для сложения скоростей в околосветовом диапазоне.

Согласно этой теории, скорость света в вакууме — предельная. Она равна примерно 299 792 458 метров в секунду. Она обозначается символом «c». Отсюда вытекает важное правило в релятивистской механике – никакой объект не может двигаться быстрее света.

При сложении скоростей в релятивистской механике используется формула, которая учитывает эффекты искажения времени и длины.

Если два объекта движутся относительно неподвижной СО со скоростями v1 и v2, то их скорость сближения v будет определяться формулой v = (v1 + v2) / (1 + (v1*v2)/c^2).

Если скорости намного меньше световых (v1, v2 << c), то формула приближается к сложению в Ньютоновской механике: v = v1 + v2.

Скорость тел не может превышать скорость света (|v| ≤ c). Уравнение сложения Эйнштейна учитывает это ограничение.

Сохранение импульса и энергии

В релятивистской механике законы сохранения имеют особую форму. Они выражается через массу, а также энергию тела:

Импульс (p) объекта определяется как произведение массы (m) на скорость (v). Сохранение импульса означает, что взаимодействие между телами или системой квантовых частиц не изменяет общий импульс системы. Математически закон выражается следующим образом: Σp1 = Σp2, где Σp1 – сумма импульсов тел до взаимодействия, Σp2 – сумма импульсов после взаимодействия.
Сохранение энергии. Энергия (E) тела связана с его массой (m) через уравнение Эйнштейна E = mc^2. Сохранение энергии означает, что взаимодействие между частицами не изменяет общую энергию системы. Математически, закон сохранения энергии выражается следующим образом: ΣE1 = ΣE2, где ΣE1 – сумма энергий объектов до взаимодействия, ΣE2 – сумма энергий после взаимодействия.

Законы сохранения имеют огромное значение, являются основой для понимания динамики систем материальных точек на высоких скоростях и сильных гравитационных полях.

Другие формулы

Есть еще несколько важных формул:

Преобразования Лоренца для координат в пространстве: x’ = γ(x — vt), где x’ – координата в СО, движущейся со скоростью v по отношению к наблюдателю, x – координата в неподвижной СО, t – время, γ = 1 / sqrt(1 – v^2/c^2) – гамма-фактор.
Преобразования для времени: t’ = γ(t — vx/c^2), где t’ – время в СО, движущейся со скоростью v по отношению к наблюдателю, t – время в неподвижной СО, γ – гамма-фактор.
Формула для кинетической энергии: K = (γ — 1)mc^2, где K – кинетическая энергия, m – масса объекта.
Формула для полной энергии: E = γmc^2, где E – полная энергия (включая массу покоя, кинетическую энергию), m – масса объекта.

Эти формулы являются основополагающими в релятивистской механике. Они позволяют описывать поведение материальных точек при высоких скоростях, учитывая специальную теорию относительности.

GPS

Система глобального позиционирования (GPS) использует законы релятивистской механики для точного определения местоположения тел на поверхности Земли. Вот как это происходит:

GPS использует спутники, которые располагаются на орбите вокруг планеты, и получатели, которые находятся на поверхности Земли. Спутники GPS оснащены точными атомными часами, что синхронизированы между собой. Однако из-за эффектов, описанных Эйнштейном, время на спутниках не совпадает со временем на поверхности Земли.
GPS-получатели измеряют время сигналов, которые отправляются спутниками. Используя время, полученное от нескольких спутников, GPS-получатель может рассчитать свое местоположение. Однако из-за разницы во времени между спутниками и получателем, точность определения местоположения может ухудшиться.
Для учета релятивистских эффектов, а также обеспечения точности определения местоположения, GPS использует специальные коррекции. Например, спутники GPS отправляют информацию о своей точной орбите и временных коррекциях, которые позволяют получателю скорректировать измеренное время сигналов и учесть релятивистские эффекты.

Таким образом, GPS эффективно использует принципы релятивистской механики для точного определения местоположения. Благодаря этому, GPS стал широко используемой системой навигации в современном мире.

А что вы думаете о теориях Эйнштейна и Ньютона? Поделитесь своим мнением в комментариях. Также сохраните статью в закладках, чтобы не потерять полезные формулы и данные.

Полезная литература

Паули В. Теория относительности. М.: Наука, 1991. 328 с.
Принцип относительности. Сборник работ по специальной теории относительности. М.: Атомиздат, 1973.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — Издание 3-е, переработанное. — М.: Физматгиз, 1960. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II).
Уиттекер Э. История теории эфира и электричества. Современные теории 1900—1926. Пер с англ. Москва, Ижевск: ИКИ, 2004. 464с. ISBN 5-93972-304-7 (Глава 2)