Понятия закона всемирного тяготения: формула великого открытия Исаака Ньютона

Сила гравитации или тяготения – это одна из важнейших в природе сил. Впервые к выводу, что она все же существует, пришел Исаак Ньютон, когда изучал, как движутся планеты вокруг Солнца и Луна вокруг Земли. Существует легенда, что свой закон всемирного тяготения он открыл, когда вечером гулял по саду и на его голову упало яблоко. Правда это или вымысел – неважно. Главное, что ученому удалось создать формулу, позволяющую производить расчет силы гравитационного воздействия.

Все во Вселенной движется. Гравитация – привычное явление для всех людей с самого детства, мы родились в гравитационном поле нашей планеты, это физическое явление воспринимается нами на самом глубоком интуитивном уровне и, казалось бы, даже не требует изучения.

Быть может, изучение этого явления стало началом натуральной философии (науки о понимании сути вещей), быть может, натуральная философия породила вопрос о его сущности, но, так или иначе, вопросом притяжения объектов заинтересовались еще в Древней Греции, задолго до того момента, когда Ньютон открыл свой закон всемирного тяготения.

Движение понималось как суть чувственной характеристики объекта, а точнее, объект двигался, пока наблюдатель это видит. Если мы не можем явление измерить, взвесить, ощутить, значит ли это, что этого явления не существует? Естественно, не значит. И с тех пор, как Аристотель понял это, начались размышления о сути притяжения.

Как оказалось в наши дни, спустя многие десятки веков, гравитация является основой не только земного притяжения и притяжения нашей планеты к Солнцу, но и основой зарождения Вселенной, почти всех имеющихся элементарных частиц. Именно поэтому так важен закон всемирного тяготения.

Задача движения

Перед тем, как заняться непосредственно изучением закона всемирно тяготения, необходимо определить некоторые важные моменты. В этому поможет небольшой эксперимент. Возьмем в левую руку небольшой шарик. В правую возьмем такой же. Отпустим правый — он начнет падать вниз. Левый при этом остается в руке, он по-прежнему недвижим.

Остановим мысленно ход времени. Падающий правый шарик «зависает» в воздухе, левый все также остается в руке. Правый наделен «энергией» движения, левый – нет. Но в чем глубокая, осмысленная разница между ними?

Где, в какой части падающего шарика прописано, что он должен двигаться? У него такой же вес, такой же объем. Он обладает такими же атомами, они ничем не отличаются от атомов покоящегося шарика. Он обладает потенциальной энергией? Да, это правильный ответ, но откуда ему известно, что обладает потенциальной энергией, где это зафиксировано в нем?

Именно эту задачу ставили перед собой Аристотель, Ньютон, Альберт Эйнштейн. Все три гениальных мыслителя отчасти решили для себя эту проблему, но на сегодняшний день существует ряд вопросов, требующих разрешения.

Закон всемирного тяготения Ньютона

В 1666 году величайшим английским физиком И. Ньютоном открыт закон всемирного тяготения, способный количественно посчитать силу, благодаря которой вся материя во Вселенной стремится друг к другу.

[colored]Сила гравитационного взаимодействия, способствующая притяжению двух тел, находится в прямой пропорциональной связи с массами этих тел и в обратной пропорциональной связи с расстоянием между ними.[/colored]

Существует красивая легенда, что закон всемирного тяготения был открыт ученым во время прогулки по вечернему саду. Ньютон размышлял о строении Вселенной, движении небесных тел, когда ему на голову упало яблоко. Его сразу посетила гениальная идея. Так родился закон всемирного тяготения. По другой версии яблоко просто упало рядом, что не помешало ученому сделать открытие. Сейчас же многие «светлые» умы современность опровергают то, что такая история могла произойти на самом деле. Но факт остается фактом — закон всемирного тяготения был открыт Исааком Ньютоном.

В законе всемирного тяготения Ньютона используется термин «расстояние». Под этим термином следует понимать не дистанцию между поверхностями объектов, а расстояние между их центрами тяжести. К примеру, если два шара радиусами r1 и r2 лежат друг на друге, то дистанция между их поверхностями равна нулю, однако сила притяжения есть. Все дело в том, что расстояние между их центрами r1+r2 отлично от нуля. В космических масштабах это уточнение не суть важно, но для спутника на орбите данная дистанция равна высоте над поверхностью плюс радиус нашей планеты. Расстояние между нашей планетой и Луной также измеряется как расстояние между их центрами, а не поверхностями.

Для закона всемирного тяготения формула выглядит следующим образом:

где:

• F – сила притяжения;
• m1, m2– массы;
• r – расстояние;
• G – гравитационная постоянная, равная 6,67·10−11 м³/(кг·с²).

F является векторной величиной, однако в законе всемирного тяготения она традиционно записана как скаляр. В векторной картине закон всемирного тяготения Ньютона будет выглядеть таким образом:

Но это не означает, что F обратно пропорциональна кубу дистанции между центрами. Отношение следует воспринимать как единичный вектор, направленный от одного центра к другому:

Вес и гравитация

Рассмотрев закон всемирного тяготения, можно понять, что нет ничего удивительного в том, что лично мы ощущаем притяжение Солнца намного слабее, чем земное. Массивное Солнце имеет большую массу, однако оно очень далеко от нас. Земля тоже далеко от него, однако она притягивается к нему, так как обладает большой массой.

Сила тяжести равна: P = mg, где m – наша масса, а g – ускорение свободного падения планеты (9,81 м/с²).

[stop]Не бывает двух, трех, десяти видов сил притяжения. Гравитация – единственная сила, дающая количественную характеристику притяжения. Вес (P = mg) и сила гравитации – одно и то же. И эти величины учитывает закон всемирного тяготения.[/stop]

Если m – наша масса, M – масса планеты, R – ее радиус, то, опираясь на закон всемирного тяготения, можно рассчитать гравитационную силу, которая равна:

Таким образом, поскольку F = mg:

Массы m сокращаются, остается выражение для ускорения свободного падения:

Ускорение свободного падения – действительно постоянная величина, поскольку в ее формулу входят величины постоянные — радиус, масса, гравитационная постоянная. Подставив значения этих констант, мы убедимся, что ускорение свободного падения равно 9,81 м/с².

На разных широтах радиус планеты несколько отличается, поскольку она все-таки не идеальный шар. Из-за этого ускорение свободного падения в отдельных точках на поверхности разное.

Вернемся к притяжению Земли и Солнца. Постараемся на примере доказать, что земной шар притягивает нас с вами сильнее, чем Солнце (опираясь на закон всемирного тяготения).

Примем для удобства массу человека: m = 100 кг. Тогда:

• Расстояние человек-земной шар равно радиусу планеты: R = 6,4∙10⁶ м.
• Масса Земли равна: M ≈ 6∙10²⁴ кг.
• Масса Солнца равна: Mc ≈ 2∙10³⁰ кг.
• Дистанция от планеты до Солнца: r=15∙10¹⁰ м.

Гравитационное притяжение между человеком и Землей:

Данный результат довольно очевиден из более простого выражения для веса (P = mg).

Сила гравитационного притяжения между человеком и Солнцем:

Как видим, наша планета притягивает нас почти в 2000 раз сильнее.

Как найти силу притяжения между Землей и Солнцем? Следующим образом:

Теперь мы видим, что Солнце притягивает нашу планету более чем в миллиард миллиардов раз сильнее, чем она притягивает нас с вами. И все это удалось определить благодаря закону всемирного тяготения.

Первая космическая скорость

После того как Исаак Ньютон открыл закон всемирного тяготения, ему стало интересно, с какой скоростью нужно бросить объект, чтобы он, преодолев гравитационное поле, навсегда покинул земной шар.

Правда, он представлял себе это несколько иначе, в его понимании была не вертикально стоящая ракета, устремленная в небо, а тело, которое горизонтально совершает прыжок с вершины горы. Это была логичная иллюстрация, поскольку на вершине горы сила гравитации немного меньше.

Так, на вершине Эвереста ускорение свободного падения будет равно не привычные 9,8 м/с², а 9,77 м/с². Именно по этой причине там настолько разряженный воздух, частицы воздуха уже не так привязаны к гравитации, как те, которые «упали» к поверхности. Постараемся узнать, что такое космическая скорость.

Первая космическая скорость v1 (КС) – это такая скорость, при которой тело (объект) покинет поверхность Земли (или другого небесного тела), после чего перейдет на круговую орбиту.

Узнаем численной значение этой величины для нашей планеты. Запишем второй закон Ньютона для тела, которое вращается по круговой орбите:

где h — высота тела над поверхностью, R — радиус Земли.

На орбите на объект действует центробежное ускорение:

Таким образом:

Массы сокращаются, получаем:

,

.

Данная скорость называется первой космической скоростью:

Как можно заметить, она абсолютно не зависит от массы объекта. Таким образом, любой предмет, разогнанный до скорости 7,9 км/с, покинет нашу планету, после чего перейдет на ее орбиту.

Вторая космическая скорость

Однако, даже разогнав объект до первой КС, нам не удастся полностью разорвать его гравитационную связь с Землей. Для этого нужна вторая КС. При достижении ее тело покидает гравитационное поле планеты, а также все возможные замкнутые орбиты.

[stop]По ошибке часто считается, что для того чтобы попасть на Луну, космонавтам приходилось достигать второй КС, ведь нужно было сперва «разъединиться» с гравитационным полем. Это не так: пара «Земля — Луна» находятся в гравитационном поле Земли. Их общий центр тяжести находится внутри земного шара.[/stop]

Запишем закон сохранения энергии:

,

где в правой части равенства стоит работа силы тяжести: A = Fs.

Отсюда получаем, что вторая КС равна:

Таким образом, вторая КС раз больше первой:

.

Закон Всемирного тяготения в видео по теме:

Закон всемирного тяготения и сопутствующий ему математический аппарат стали основой астрономии и небесной механики. Он позволил объяснить природу движения всех небесных тел, а также что представляет собой невесомость. Закон всемирного тяготения является одним из краеугольных камней физики и астрономии. Но без него человечество бы не смогло объяснить основные механизмы во Вселенной.