Формулы площадей всех основных фигур: разбор пошаговых решений

Площадь фигуры – это величина, которая измеряется в единичных квадратах и помогает определить, сколько места фигура занимает на плоскости. Обозначается буквой S. В процессе изучения такой науки как геометрия необходимо запоминать разные методы для нахождения этой занимаемой области.

Аксиомы площади

Значение не может быть отрицательным. Доказать или опровергнуть это не выйдет, поэтому следует просто запомнить. Одинаковые фигуры = одинаковые S. А если разбить первоначальный образ на разные части, то совокупность всех их площадей будет равно искомой для целой формы.

Площадь треугольника

Чтобы рассчитать S фигуры, надо понять, каким треугольник является. Когда не подходит любое из описаний, важно отталкиваться от других данных: длин сторон, h, описанной вокруг него или вписанной в него окружности.

Равносторонний

У такой формы все стороны одного размера. Для вычисления существует алгоритм – сначала находится квадрат одной из сторон. Например, если ее длина 3, то выходит 3 × 3 = 9. Эта сумма увеличивается на 1,73205080757 – это примерное число корня из 3. Эту цифру делят на 4.

Равнобедренный

Здесь симметричны боковые стороны. Чтобы вычислить искомое, выполним несколько действий. Проведем h к центру основания. Это сторона, которая отличается от двух других. Увеличим h на основу и разделим эту цифру на два.

Вычисление площади с помощью стороны и высоты

Для любой фигуры с тремя углами посчитать можно с использованием 2 значений – это a и h, т. к. она равна половине произведения a на h, которая к ней проведена. Рассмотрим последовательность выполнения.

Необходимо провести h к a, которая известна. Для этого необходима вершина, которая противоположна ей. Из нее под прямым углом опускаем линию. Дальше h умножим на сторону. Число делим пополам на 2.

Вычисление с помощью двух сторон и угла между ними

Если известны две a и угол, который находится между ними, то нужно выполнить несколько действий. Найдем синус известного угла. Увеличим его сначала на одну a, а после на вторую. Увеличим на 1\2.

Как рассчитать, если есть все три стороны

Для этого используем формулу Герона Для ее выполнения такая инструкция:

Сложите все три стороны – это периметр вашей фигуры.
Разделите периметр на 2 – это полупериметр.
Отнимите от полупериметра длину стороны a.
Повторите действие с b и c.
Умножьте полупериметр на каждое из трех, рассчитанных, значений.
Найдите квадратный корень полученной суммы.

Ее часто спрашивают учителя, поэтому это важно учить.

Как искать, когда известны три стороны и радиус описанной вокруг него окружности

Для начала стоит отметить, что описать окружность можно вокруг любого треугольника. Чтобы посчитать S вписанной в нее фигуры, следует все три стороны умножить и полученную сумму разделить на четыре r.

Как искать S с помощью вписанной в треугольник окружности и всех его сторон

Вписанная окружность – это та, которая касается всех трех его вершин. Расстояние от центра окружности к каждой из них – это её радиус. Для нахождения сложим все и разделим их на два. Это полупериметр, который увеличивается на радиус.

Предлагаем вниманию статью: Свойства треугольника, вписанного в окружность.

Площадь параллелограмма

Чтобы посчитать S параллелограмма, надо умножить дно на h, которая на него опущена.

Читайте также нашу статью: Вычисляем сумму углов и площадь параллелограмма

S прямоугольника

Для вычисления нужно его длину увеличить на ширину. Вот так это записывается.

Определение S квадрата

Это геометрическая форма с четырьмя одинаковыми сторонами. Ее S можно узнать двумя методами. Первый – через сторону. Для этого две стороны нужно перемножить. Второй – через диагональ. Для этого следует ее провести и возвести эту длину во вторую степень. Чтобы найти S квадрата, данную цифру разделите на два.

Площадь четырехугольника

Четырехугольник – это геометрическая форма, у которой есть четыре стороны. Нет единого механизма для произведения расчета. Для того, чтобы вычислить S, необходимо определить, какой именно четырёхугольник в вашей задачи. Это может быть:

прямоугольник;
квадрат;
трапеция;
ромб;
параллелограмм.

Существуют такие формулы.

Как посчитать S многоугольника

Многоугольник – это форма, составленная из отрезков, которые не пересекаются друг с другом. Это та часть плоскости, которая ограничена этой ломанной линией. Если многоугольники симметричны, то их S также одинакова.

Бывают правильные и неправильные. Правильные – это те выпуклые многоугольники, у который все вершины, а также стороны равны. Неправильные –это, наоборот, те, которые собраны из разных отрезков.

Выпуклый n-угольник – это тот, что лежат на одной стороне прямой, которую провели через две любые соседние вершины. Те, которые находятся пересекают линию – плоские.

Ищем S ромба

Ромб – фигура с четырьмя сторонами, которые одинаковы. Углы у него не обязательно прямые. Для поиска S существует 3 метода.

Через диагональ

Это линия, соединяющая противоположные углы. Диагонали пересекаются в центре фигуры. Их числа надо перемножить. Например, их длины составляют 3 см и 6 см, тогда будет 18 см². Это число делим на 2. S ромба будет 9 см².

Используя высоту и основание

Дно необходимо умножить на h. Например, дно равно 6 см, а h 5см. Значит S ромба будет 30 см².

Применяем тригонометрию

Для этого любую из четырех сторон возводим в квадрат и эту цифру увеличиваем на синус любого угла. S найдена.

Как посчитать S многогранника

Площадью многогранника считается совокупность S всех его граней. Иногда можно встретить другое название – S полной поверхности. Для призмы и пирамиды обычно рассматривают площадь их боковой поверхности.

S боковой поверхности призмы считается сумма площадей боковых граней. Область полной поверхности призмы, в свою очередь, это совокупность не только боковых S призмы, но и площадей ее основания.

Площадь пятиугольника

S фигуры с пятью вершинами вычисляется с помощью формулы. Выглядит так.

Как узнать S закрашенного сектора

Сектор круга – это область фигуры, образованная двумя его r и дугой между ними. Существует два метода нахождения S этого участка. Первый через длину дуги, а второй через угол.

Площадь круга

S такой фигуры находят двумя методами: через диаметр и через радиус. То, что необходимо при расчете.

S трапеции

Трапеция — это форма, обладающая четырьмя сторонами, две из которых параллельны, а две симметричны. Чтобы найти S фигуры, следует сложить основания и разделить эту сумму на 2.

Полученный ответ надо умножить на h.

Сохраняйте статью, чтобы не потерять полезную информацию, ведь здесь собраны все способы для нахождения площадей фигур. Поделитесь своим мнением о том, легко ли вам даются эти вычисления!