Обыкновенные дроби в математике: определение, доли, действия и примеры

Изучают обыкновенные дроби в математике после темы о долях. В записи вводится черта, разделяющая числитель и знаменатель. Их величина позволяет понять, какое количество частей было использовано от общего их числа.

Разбираемся с долями

В математике понятие о долях возникает, когда требуется что-то разделить. Например, для семьи из 8 человек купили арбуз. Чтобы каждому достался кусочек, разрезали арбуз на 8 одинаковых долек. В такой ситуации можно утверждать, что члены семьи получили от арбуза по одной восьмой.

Делить можно разные предметы (часто говорят «полбатона», «треть яблока»), а также единицы измерения («пол-литра», «треть часа», «четверть пути»). Это примеры дробных чисел. Для них вводятся специальные обозначения:

• половина — 12;
• треть — 13;
• четверть — 14 и т. д.

Такие выражения в математике называются обыкновенными дробями. Записывают их, применяя не только горизонтальную (16; 35), но и косую черту (⅓, 2/4, 3/7).

Как называются части?

При усвоении понятий, относящихся к обыкновенным (их еще называют «простыми») дробям, изучают их части.

Например, выполняя следующее задание, можно установить, что квадрат разделен на 16 равных секторов, из которых 11 фрагментов закрашено. Следовательно, получают обозначение 11/16, которое характеризует это утверждение.

В математике для обыкновенной любой дроби установлены следующие закономерности по названию их элементов.

Для примера можно рассмотреть запись 11/16:

1. Цифра внизу (16 — это знаменатель) обозначает общее количество одинаковых фрагментов, на которые разделен предмет.
2. Верхняя (11) показывает, сколько секторов берут (в примере закрашено). Это числитель.

Выполнение заданий позволяет ученикам при изучении математики закрепить понятие долей. Например, по аналогии с предыдущим заданием нужно определить и записать в виде дробной разновидности количество закрашенных фрагментов.

 Соответственно, ответ при применении разных типов записи будет выглядеть так: а) 1/7; б) ⅓; в) ¼; г) ½; д) ⅖; е) ⅖; ж) ⅓; з) ⅚; и) 410; к) 5/5; л) ½; м) ⅖; н) ⅛; о) 8/100.

Поговорим об элементах

Анализируя применяемую в математике классификацию обыкновенных разных дробей, можно установить несколько их типов:

1. Обыкновенная правильная дробь. В таком выражении цифра под чертой больше, чем над ней: 1/5; 2/7; 3/8; 11/51; 13/83; 19/65.
2. Неправильная дробь. К таким видам относят выражения, в которых нижнее выражение равно верхнему или меньше его: 5/5; 11/5; 13/8; 41/15; 57/8; 67/31; 113/52; 132/79.

В ситуации, когда числитель и знаменатель обозначены одинаковыми числами, значение равно единице. Буквенное обозначение выглядит так:

m/m = 1. Здесь m — натуральное число.

Если в математике запись произведена в виде m/n, то числителем (m) служит цифра, расположенная перед чертой, а знаменатель (n) находится за ней.

При чтении обыкновенной любой дроби учитывают, что верхним выражением служит количественное числительное, выраженное в женском роде («одна», «восемь», «семнадцать»). Знаменатель произносят как склоняемое порядковое числительное («седьмая», «восемнадцатая», «двадцать шестая») единственного или множественного числа:

• 1/8 — одна восьмая;
• 4/13 — четыре тринадцатых;
• 23/126 — двадцать три сто двадцать шестых;
• 15/7 — пятнадцать седьмых;
• 84/35 — восемьдесят четыре тридцать пятых.

Неправильное обозначение можно преобразовать с получением смешанной числовой разновидности, например 23/7 = 3 и 2/7.

В смешанном виде 3 и 2/7 выделяют следующие фрагменты:

• целая часть — 3;
• дробная — 2/7 (правильная дробь).

Для получения смешанного выражения нужно цифру над чертой неправильной дроби разделить на ее нижний элемент. Получают в математике следующие фрагменты:

• неполное частное — это целая составляющая;
• остаток — числитель:
• знаменатель остается неизменным.

При выполнении в математике обратного действия по получению неправильного типа из смешанного требуется сначала знаменатель умножить на целую часть. Затем прибавляют числитель. Полученная сумма образует верхнюю цифру неправильной разновидности, у которой нижний элемент остается прежним.

Зачем нужна черта?

При определении соотношения долей уже известно, что черта позволяет обозначить общее и взятое или (как в примере ниже, окрашенных) количество фрагментов.

Другой смысл в математике черты, разделяющей верхний и нижний элемент дробного типа, заключается в обозначении действия деления. В такой ситуации цифра вверху — это делимое, а внизу находится делитель. Поэтому в математике запись вида cd читают как «c разделить на d».

Результатом, получаемым при делении натуральных чисел, служит как дробная разновидность, так и натуральное выражение. Несколько примеров:

• 5 : 7 = 5/7;
• 35 : 5 = 7;
• 19 : 7 = 19/7; 
• 5 : 14 = 5/14;
• 16 : 1 = 16/1 = 16.

Натуральные числовые разновидности в математике преобразуют в обыкновенные с любым знаменателем:

• 9 = 9/1 = 18/2 = 63/7;
• 1 = 5/5 = 56/56 = 1000/1000.

Сравниваем дроби

Если у простых типов одинаковые цифры под чертой, то большим из них будет обозначение, у которого больше числитель и наоборот:

• 5/7 > 3/7;
• 23/37 > 11/37;
• 21/43 > 13/43;
• 5/7 < 9/7;
• 21/27 < 33/27;
• 35/19 < 47/19.

Если в математике правильный вид сравнивают с единицей, то получают следующую зависимость:

• 5/7 < 7/7, поскольку 7/7 = 1, то 5/7 < 1.
• 15/37 < 37/37; поскольку 37/37 = 1, то 15/37 < 1.
• 25/41 < 41/41; поскольку 41/41 = 1, то 25/41 < 1.

Следовательно, обыкновенная правильная разновидность при любом значении меньше единицы. 

При проведении действия сравнения с единицей неправильного обыкновенного типа, можно выявить следующий результат:

• 7/7 = 7/7, значит, 7/7 = 1;
• 15/7 > 7/7, поскольку 7/7 = 1, то 15/7 > 1;
• 51/26 > 26/26, поскольку 26/26 = 1, то 51/26 > 1;
• 125/71 > 71/71, поскольку 71/71 = 1, то 125/71 > 1.

Следовательно, неправильные виды могут быть равны или больше единицы.

Эти соотношения позволяют сделать вывод, что обыкновенные правильные дроби меньше неправильных и наоборот.

При сравнении в математике смешанных видов учитывают, что большим значением обладает обозначение, у которого больше целая составляющая и наоборот:

В математике при сложении выражений, у которых одинаковые нижние выражения, нужно найти сумму числителей. Цифра под чертой сохраняет прежнее значение. Аналогично проводят вычитание.

По правилам математики при сложении смешанных видов отдельно находят сумму целых и дробных составляющих. Такой же алгоритм применяют при вычитании.

Если требуется отнять смешанное выражение от натурального, нужно представить уменьшаемое в виде смешанного типа.

Внизу — разные числа

При освоении программы математики затруднения чаще возникают при выполнении действий с обыкновенными типами, у которых разные нижние элементы.

По правилам, изучаемым при освоении программы, нужно сначала найти наименьший общий знаменатель. При делении его на нижние выражения каждого дробного элемента вычисляют дополнительные множители. Их умножают на делители. После этих действий выполняют сложение.

По аналогии с этими правилами выполняют вычитание.

После получения базовых знаний по программе математики ученики изучают умножение и деление обыкновенных дробей.

При изучении учебного материала, позволяющего правильно выполнять действия с обыкновенными дробями, важно последовательно осваивать все базовые правила. Расскажите, какие затруднения по этой теме возникали у ваших детей? Если информация, освещенная в статье, оказалась для вас полезной, поделитесь полученными знаниями с друзьями в социальных сетях и добавьте ее в закладки.