Чему равна и как найти площадь равностороннего треугольника

Чему равна и как найти площадь равностороннего треугольника

Равносторонний треугольник — это самый простой правильный многоугольник из возможных. При нахождении его площади возникают частные варианты его расчета. Важно знать и понимать признаки и свойства этого вида фигур, для более легкого вычисления этого параметра. Все методы, представленные ниже, достаточно просты в применении, и не потребуют глубокого осмысления.

...

Оглавление:

Признаки и свойства фигуры

Для того чтобы рассчитать его площадь необходимо понимать свойства и признаки, которыми он обладает. Можно выделить следующие основные признаки этой фигуры:

  • Значение величины его углов одинаково во всех случаях и равняется 60 градусам, вне зависимости от размера сторон.
  • Биссектриса, высота и медиана выпущенные из одного угла будут совпадать.
  • Любая сторона равностороннего треугольника равна двум другим.
  • Центр правильного треугольника будет являться центром для вписанной и описанной окружности.
  • Является частным случаем равнобедренного треугольника.
Важно! Если хотя бы один из этих признаков соблюдается, значит, треугольник является равносторонним.
как найти площадь равностороннего треугольника
Равносторонний треугольник

Дополнительно этот частный случай фигуры обладает следующими свойствами:

  • Средняя линия, которая делит две боковые стороны пополам, равняется половине основания, параллельно которому она располагается.
  • Сумма всех его углов не превышает 180 градусов.
  • Радиус вписанной окружности рассчитывается по следующей формуле r = Как найти площадь равностороннего треугольника , а описанной согласно выражению R =Как найти площадь равностороннего треугольника .
  • Радиус описанной окружности в правильном треугольнике в 2 раза больше радиуса вписанной.

Расчет через сторону

Существует множество способов расчета площади этой фигуры. Все они имеют свои преимущества и недостатки. Применяются в зависимости от условий, представленных задаче. Самая популярный способ найти искомое значение для равностороннего треугольника вычисляется через произведение половины сторон и синуса угла между ними, выглядит это следующим образом:Как найти площадь равностороннего треугольника ,  где, a и b – стороны, α – угол между ними.

В случае с равносторонним, этот способ упрощается в значительной степени. Для этого нужно обратиться к рассмотренным выше признакам и свойствам. Исходя из того, что все углы этой фигуры равны, и равняются 60 градусам. Синус 60 градусов, согласно таблице Брадиса, равняется Как найти площадь равностороннего треугольника , преобразовав исходное выражение получаем следующее значение: Как найти площадь равностороннего треугольника .

Учитывая то, что все стороны этой фигуры равны, то преобразованное выражение даст такой результат:Как найти площадь равностороннего треугольника .

Данная формула отлично подойдет в случае, если известна величина стороны этой фигуры. В таком виде вычислять данный показатель гораздо легче и быстрее.

Те, кто помнит формула Герона, знают, как найти площадь этой фигуры. В процессе преобразования выражение изменится в представленное выше. Площадь этой фигуры по Герону рассчитывается так: Как найти площадь равностороннего треугольника ,  где, a, b, c —стороны, а p — полупериметр (Как найти площадь равностороннего треугольника ). Преобразовывается данное выражение достаточно просто. Необходимо подставить вместо значения p расчет полупериметра и постепенно начать сокращать выражение. Сумму сторон можно представить в виде суммы трех одинаковых сторон и довести сокращения до конца. Математически это выглядит так:

Как найти площадь равностороннего треугольника ;

Как найти площадь равностороннего треугольника ;

Как найти площадь равностороннего треугольника ;

Как найти площадь равностороннего треугольника .

Полученная формула площади и представленные ниже функции могут быть использованы только, в случае, если фигура является правильной, в ином случае не будет давать правильный ответ.

как найти площадь равностороннего треугольника
Вычисление площади треугольника по его стороне

Расчет по высоте

Найти площадь равностороннего треугольника можно также, если известна его высота и сторона. Половина длины высоты умножается на сторону, выбрана может быть любая высота и сторона, ведь согласно свойствам, они все одинаковые: Как найти площадь равностороннего треугольника , где a – это длина стороны. Ее легко запомнить, однако, на практике она применяется достаточно редко.

Если в задаче указана информация о том, что треугольник является равносторонним и известна величина высоты. А чему равна длина стороны неизвестно, то можно воспользоваться формулой, позволяющей ее рассчитать. Найти сторону можно разделив двойную величину высоты на корень квадратный из трех, математически выглядит следующим образом: Как найти площадь равностороннего треугольника . После этого применяется формула площади, где расчеты производятся через сторону, она описана в предыдущем пункте.

Для того чтобы не делать лишних расчетов можно вывести формулу этого показателя сразу же через высоту. Квадрат высоты делится на корень квадратный из трех. Она будет выглядеть так: Как найти площадь равностороннего треугольника . В этом случае можно не применять формулу равнобедренного треугольника через сторону.

как найти площадь равностороннего треугольника
Вычисление площади треугольника по его стороне и высоте

Расчет через окружности

В математике популярен также прием расчета, рассматриваемого в статье, значения через помещение фигуры в окружность или наоборот. Такая окружность называется описанной. Если она находится внутри, то она называется вписанной. Именно в этом разделе возникает большинство вопросов, как найти площадь равностороннего многоугольника с тремя углами.

Описанная окружность обязательно должна проходить через все вершины, вписанная должна проходить через стороны только в одной точке по касательной.

как найти площадь равностороннего треугольника
Чертеж равностороннего треугольника, описанного или вписанного в окружность

Если в условии задачи дан радиус вписанной и описанной окружности, то из них также можно составить выражение, так как вместе они дадут суммарную длину высоты. Как рассчитывается площадь при ее помощи, показано выше: h = R + r .

Преобразовав формулу Как найти площадь равностороннего треугольника ,  применив расчет высоты h = R + r,  можно получить следующее значение: Чему равна и как найти площадь равностороннего треугольника. Данную формула можно упростить еще больше, ведь радиус описанной окружности можно выразить через радиус вписанной. Согласно свойствам этих окружностей R = 2r, где r — это радиус вписанной окружности, R — это радиус описанной. Соответственно площадь правильного треугольника будет высчитываться так: Как найти площадь равностороннего треугольника .

Если же будет дан размер радиуса описанной окружности, то выражение будет выглядеть следующим образом:Как найти площадь равностороннего треугольника .

Использование этих свойств пригодится для расчета стороны фигуры. Для того чтобы ее найти можно воспользоваться выражением Как найти площадь равностороннего треугольника  для описанной окружности, и  Как найти площадь равностороннего треугольника  для вписанной.

Учитывая радиус описанной окружности можно найти искомое значение при помощи возведения стороны в куб, после чего результат делится на радиус, увеличенный в 4 раза. Математически его можно записать следующим образом: Как найти площадь равностороннего треугольника .

Процесс расчета, чему равен показатель площади равностороннего треугольника через любую из предложенных формул не должен вызывать особых затруднений. Для того чтобы успешно справиться с этой задачей не нужно запоминать все указанные способы, достаточно запомнить основные общие формулы расчета, а также свойства и признаки этой фигуры.

Внимание! Для проверки правильности расчетов можно воспользоваться несколькими способами, результаты должны совпасть.

Площадь равностороннего треугольника

 

Площадь равностороннего треугольника, вписанного в окружность


Применив логическое мышление, расчеты с легкостью преобразовываются в частные случаи, коих гораздо больше. Нецелесообразно забивать голову большим количеством нерелевантной информации, лучше развивать причинно-следственную связь для преобразования выражений.

Вам помогла статья?
Голосовать ПРОТИВГолосовать ЗА
-1
раз уже
помогла
Загрузка...

Отзывы и комментарии

Вставить формулу как
Блок
Строка
Дополнительные настройки
Цвет формулы
Цвет текста
#333333
Используйте LaTeX для набора формулы
Предпросмотр
\({}\)
Формула не набрана
Вставить
Adblock detector