Как найти площадь равностороннего треугольника — способы расчета фигуры

Треугольник – геометрическая фигура, сформированная 3 отрезками, соединенными между собой 3 точками. При этом все углы у нее расположены внутри. Равносторонний или равноугольный треугольник – многоугольник правильной формы с равными сторонами и углами (по 60°). В этой фигуре высота выступает одновременно и медианой, и биссектрисой. Площадь равностороннего треугольника можно просчитать через сторону, высоту, через сторону и высоту.

Геометрия – это раздел математики, который занимается изучением фигур в пространстве и на плоскости, а также вычислением их площади, объема и прочих показателей. Впервые как наука она появилась в Древней Греции. Изучением занимался ученый Евклид. Позже было создано еще несколько видов геометрии – проективная, начертательная, дифференциальная и аналитическая.

Геометрия окружает человека каждый день. Если оглянуться вокруг, то можно увидеть, что вокруг расположены не просто предметы, а геометрические фигуры. Например, монитор, кровать, стол и даже стены в комнате. Поэтому важно изучить хотя бы ее основы. Одной из самых популярных фигур, которые можно встретить в повседневной жизни, является треугольник.

Признаки и свойства

Треугольник представляет собой геометрическую фигуру, состоящую из трех точек, не располагающихся на одной прямой линии. Отрезки, которые из соединяют, называются стороны. Точки их соединения – это вершины. В геометрии принято обозначать их латинскими буквами. К примеру, так – А, В, С. Стороны указывают названиями двух точек (вершин) из которых они состоят – АВ, ВС, АС. В тех местах, где они соединяются, формируются углы. Нижний отрезок называют основанием.

Многоугольники классифицируют по нескольким признакам. Каждый из них имеет свои определенные свойства.

Классификация по углам (∠):

• тупоугольные. Имеют один тупой ∠, градусная мера которого более 90 градусов. Остальные 2 острые;
• остроугольные. Все углы острые и градусная мера каждого не превышает 90 градусов;
• прямоугольные. Есть один прямой ∠ и 2 острых. В общей сложности сумма их градусных мер не превышает 180 градусов. Та сторона, которая локализуется прямо напротив прямого называется гипотенузой, а две других – это катеты.

Виды треугольника по сторонам:

• равнобедренный. У данного многоугольника 2 стороны равны. Их называют боковыми. Третья – это основание;
• разносторонний. Также его называют произвольным. У данного многоугольника нет равных отрезков – они все разные;
• равносторонний. Его можно также назвать правильным. В этом многоугольнике все отрезки равны. Фигура оптимальная для проведения различных вычислений.

Для того чтобы рассчитать площадь равностороннего треугольника необходимо понимать свойства и признаки, которыми он обладает. Выделяют следующие основные признаки этой фигуры:

1. Значение величины его углов одинаково во всех случаях и равняется 60 градусам, вне зависимости от размера сторон.
2. Биссектриса, высота и медиана будут совпадать.
3. Любой отрезок равностороннего треугольника равен двум другим.
4. Центр равностороннего треугольника будет являться центром для вписанной и описанной окружности (ВО и ОО).
5. Является частным случаем равнобедренного треугольника.

[stop]Если хотя бы один из этих признаков соблюдается, значит, треугольник является равносторонним.[/stop]

Дополнительно этот многоугольник обладает следующими свойствами:

• средняя линия, которая делит два боковых отрезка пополам, равняется половине основания, параллельно которому она располагается;
• сумма всех его ∠ не превышает 180 градусов;
• радиус ВО рассчитывается так r = , а ОО согласно выражению R = ;
• радиус ОО в равностороннем треугольнике в 2 раза больше радиуса вписанной.

Расчет через сторону

Существует множество способов вычисления площади (S) этой фигуры. Все они имеют свои преимущества и недостатки. Применяются в зависимости от условий, представленных задаче. Самый популярный способ найти искомое значение для равностороннего треугольника вычисляется через произведение половины сторон и синуса угла между ними, выглядит это следующим образом: , где, a и b – стороны, α – ∠ между ними.

В случае с равносторонним, этот способ упрощается в значительной степени. Для этого нужно обратиться к рассмотренным выше признакам и свойствам. Исходя из того, что все ∠ = 60 градусам. Синус 60 градусов, согласно таблице Брадиса, равняется , преобразовав исходное выражение получаем следующее значение: .

Учитывая то, что все отрезки равны, то преобразованное выражение даст такой результат: .

Данная формула отлично подойдет в случае, если известна величина стороны. В таком виде вычислять показатель гораздо легче и быстрее.

Те, кто помнит формулу Герона, знают, как найти площадь. В процессе преобразования выражение изменится в представленное выше. Площадь по Герону рассчитывается так: , где, a, b, c —стороны, а p — полупериметр (). Преобразовывается данное выражение просто. Необходимо подставить вместо значения p расчет полупериметра и постепенно начать сокращать выражение. Сумму сторон представить в виде суммы трех одинаковых сторон и довести сокращения до конца. Математически это выглядит так:

;

;

;

.

Полученная формула площади и представленные ниже функции могут быть использованы только, в случае, если фигура является правильной, в ином случае не будет давать правильный ответ.

Расчет по высоте

Вычислить площадь равностороннего многоугольника также есть возможность, если известна его высота и сторона. Половина длины высоты (h) умножается на сторону, выбрана может быть любая h и сторона, ведь согласно свойствам, они все одинаковые: , где a – это длина стороны. Формулу площади легко запомнить, однако, на практике она применяется редко.

Если в задаче указана информация о том, что многоугольник с 3 углами является равносторонним и известна величина h, чему равна длина стороны неизвестно, то можно воспользоваться формулой, позволяющей ее определить. Найти сторону есть возможность, разделив двойную величину h на корень квадратный из трех, математически выглядит следующим образом: . После этого применяется формула площади, где вычисления производятся через сторону, она описана в предыдущем пункте.

Для того чтобы не делать лишних подсчетов выводят формулу этого показателя сразу же через h. Квадрат h делится на корень квадратный из трех. Она будет выглядеть так: . В этом случае для определения площади не нужно применять формулу равностороннего треугольника через сторону.

Расчет через окружности

В математике популярен также прием вычисления, рассматриваемого в статье значения, через помещение фигуры в окружность или наоборот. Такая окр-ть называется описанной. Если она находится внутри, то она называется вписанной. Именно в этом разделе возникает большинство вопросов, как найти площадь равностороннего многоугольника с тремя углами.

ОО обязательно должна проходить через все вершины, ВО должна проходить через стороны только в одной точке по касательной.

Если в условии задачи дан радиус вписанной (r) и описанной (R) окр-ти, то из них также допустимо составить выражение, так как вместе они дадут суммарную длину h. Как рассчитывается площадь при ее помощи, показано выше: h = R + r .

Преобразовав формулу , применив h = R + r, получаем следующее значение: . Данную формулу можно упростить еще больше, ведь R описанной окр-ти можно выразить через r вписанной. Согласно свойствам этих окр-тей R = 2r, где r — это радиус вписанной окр-ти, R — это радиус описанной. Соответственно площадь равностороннего Δ будет высчитываться так: .

Если же будет дан размер R ОО, то выражение будет выглядеть следующим образом: .

Использование этих свойств пригодится для расчета стороны. Для того чтобы ее определить нужно воспользоваться выражением для ОО, и для ВО.

Учитывая R описанной окр-ти определяют искомое значение при помощи возведения стороны в куб, после чего результат делится на R, увеличенный в 4 раза. Математически его записывают следующим образом: .

Процесс вычисления, чему равен показатель площади равностороннего треугольника через любую из предложенных формул не должен вызывать особых затруднений. Для того чтобы успешно справиться с этой задачей не нужно запоминать все указанные способы, достаточно запомнить основные общие формулы расчета, а также свойства и признаки этой фигуры.

[warning]Для проверки правильности расчетов можно воспользоваться несколькими способами, результаты должны совпасть.[/warning]

Как найти площадь равностороннего треугольника смотрите в видео:

Также смотрите в видео как найти площадь равностороннего треугольника, вписанного в окружность:

Применив логическое мышление, расчеты с легкостью преобразовываются в частные случаи, коих гораздо больше. Нецелесообразно забивать голову большим количеством нерелевантной информации, лучше развивать причинно-следственную связь для преобразования выражений.

Геометрия — это точная наука, которая не терпит отклонений и недочетов. Для ее изучения нужно запастись колоссальным терпением и быть очень внимательным. То, что на первый взгляд кажется непостижимым и непонятным, после освоения азов станет легким и доступным для понимания. Но все же особое внимание необходимо уделить изучению теорем и формул, так как они являются основой для вычислений таких важных показателей, как объем или площадь. Ее изучение и нужно начинать с таких простых и правильных фигур, как равносторонний треугольник. Он поможет понять основы и не потерять интерес к науке в целом.