Как найти площадь равностороннего треугольника — способы расчета фигуры

Треугольник – геометрическая фигура, сформированная 3 отрезками, соединенными между собой 3 точками. При этом все углы у нее расположены внутри. Равносторонний или равноугольный треугольник – многоугольник правильной формы с равными сторонами и углами (по 60°). В этой фигуре высота выступает одновременно и медианой, и биссектрисой. Площадь равностороннего треугольника можно просчитать через сторону, высоту, через сторону и высоту.

...

Оглавление:

Геометрия – это раздел математики, который занимается изучением фигур в пространстве и на плоскости, а также вычислением их площади, объема и прочих показателей. Впервые как наука она появилась в Древней Греции. Изучением занимался ученый Евклид. Позже было создано еще несколько видов геометрии – проективная, начертательная, дифференциальная и аналитическая.

Геометрия окружает человека каждый день. Если оглянуться вокруг, то можно увидеть, что вокруг расположены не просто предметы, а геометрические фигуры. Например, монитор, кровать, стол и даже стены в комнате. Поэтому важно изучить хотя бы ее основы. Одной из самых популярных фигур, которые можно встретить в повседневной жизни, является треугольник.

Признаки и свойства

Треугольник представляет собой геометрическую фигуру, состоящую из трех точек, не располагающихся на одной прямой линии. Отрезки, которые из соединяют, называются стороны. Точки их соединения – это вершины. В геометрии принято обозначать их латинскими буквами. К примеру, так – А, В, С. Стороны указывают названиями двух точек (вершин) из которых они состоят – АВ, ВС, АС. В тех местах, где они соединяются, формируются углы. Нижний отрезок называют основанием.

Многоугольники классифицируют по нескольким признакам. Каждый из них имеет свои определенные свойства.

Классификация по углам (∠):

  • тупоугольные. Имеют один тупой ∠, градусная мера которого более 90 градусов. Остальные 2 острые;
  • остроугольные. Все углы острые и градусная мера каждого не превышает 90 градусов;
  • прямоугольные. Есть один прямой ∠ и 2 острых. В общей сложности сумма их градусных мер не превышает 180 градусов. Та сторона, которая локализуется прямо напротив прямого называется гипотенузой, а две других – это катеты.

Виды треугольника по сторонам:

  • равнобедренный. У данного многоугольника 2 стороны равны. Их называют боковыми. Третья – это основание;
  • разносторонний. Также его называют произвольным. У данного многоугольника нет равных отрезков – они все разные;
  • равносторонний. Его можно также назвать правильным. В этом многоугольнике все отрезки равны. Фигура оптимальная для проведения различных вычислений.

Для того чтобы рассчитать площадь равностороннего треугольника необходимо понимать свойства и признаки, которыми он обладает. Выделяют следующие основные признаки этой фигуры:

  1. Значение величины его углов одинаково во всех случаях и равняется 60 градусам, вне зависимости от размера сторон.
  2. Биссектриса, высота и медиана будут совпадать.
  3. Любой отрезок равностороннего треугольника равен двум другим.
  4. Центр равностороннего треугольника будет являться центром для вписанной и описанной окружности (ВО и ОО).
  5. Является частным случаем равнобедренного треугольника.

Если хотя бы один из этих признаков соблюдается, значит, треугольник является равносторонним.

Дополнительно этот многоугольник обладает следующими свойствами:

  • средняя линия, которая делит два боковых отрезка пополам, равняется половине основания, параллельно которому она располагается;
  • сумма всех его ∠ не превышает 180 градусов;
  • радиус ВО рассчитывается так r = Как найти площадь равностороннего треугольника , а ОО согласно выражению R =Как найти площадь равностороннего треугольника ;
  • радиус ОО в равностороннем треугольнике в 2 раза больше радиуса вписанной.
Равносторонний треугольник
Как выглядит равносторонний треугольник

Расчет через сторону

Существует множество способов вычисления площади (S) этой фигуры. Все они имеют свои преимущества и недостатки. Применяются в зависимости от условий, представленных задаче. Самый популярный способ найти искомое значение для равностороннего треугольника вычисляется через произведение половины сторон и синуса угла между ними, выглядит это следующим образом:Как найти площадь равностороннего треугольника , где, a и b – стороны, α – ∠ между ними.

В случае с равносторонним, этот способ упрощается в значительной степени. Для этого нужно обратиться к рассмотренным выше признакам и свойствам. Исходя из того, что все ∠ = 60 градусам. Синус 60 градусов, согласно таблице Брадиса, равняется Как найти площадь равностороннего треугольника , преобразовав исходное выражение получаем следующее значение: Как найти площадь равностороннего треугольника .

Учитывая то, что все отрезки равны, то преобразованное выражение даст такой результат:Как найти площадь равностороннего треугольника .

Данная формула отлично подойдет в случае, если известна величина стороны. В таком виде вычислять показатель гораздо легче и быстрее.

Те, кто помнит формулу Герона, знают, как найти площадь. В процессе преобразования выражение изменится в представленное выше. Площадь по Герону рассчитывается так:Как найти площадь равностороннего треугольника , где, a, b, c —стороны, а p — полупериметр (Как найти площадь равностороннего треугольника ). Преобразовывается данное выражение просто. Необходимо подставить вместо значения p расчет полупериметра и постепенно начать сокращать выражение. Сумму сторон представить в виде суммы трех одинаковых сторон и довести сокращения до конца. Математически это выглядит так:

Как найти площадь равностороннего треугольника ;

Как найти площадь равностороннего треугольника ;

Как найти площадь равностороннего треугольника ;

Как найти площадь равностороннего треугольника .

Полученная формула площади и представленные ниже функции могут быть использованы только, в случае, если фигура является правильной, в ином случае не будет давать правильный ответ.

Как найти площадь равностороннего треугольника
Вычисление площади треугольника по его стороне

Расчет по высоте

Вычислить площадь равностороннего многоугольника также есть возможность, если известна его высота и сторона. Половина длины высоты (h) умножается на сторону, выбрана может быть любая h и сторона, ведь согласно свойствам, они все одинаковые: Как найти площадь равностороннего треугольника , где a – это длина стороны. Формулу площади легко запомнить, однако, на практике она применяется редко.

Если в задаче указана информация о том, что многоугольник с 3 углами является равносторонним и известна величина h, чему равна длина стороны неизвестно, то можно воспользоваться формулой, позволяющей ее определить. Найти сторону есть возможность, разделив двойную величину h на корень квадратный из трех, математически выглядит следующим образом: Как найти площадь равностороннего треугольника . После этого применяется формула площади, где вычисления производятся через сторону, она описана в предыдущем пункте.

Для того чтобы не делать лишних подсчетов выводят формулу этого показателя сразу же через h. Квадрат h делится на корень квадратный из трех. Она будет выглядеть так: Как найти площадь равностороннего треугольника . В этом случае для определения площади не нужно применять формулу равностороннего треугольника через сторону.

Нахождение площади равностороннего треугольника
Вычисление площади треугольника по его стороне и высоте

Расчет через окружности

В математике популярен также прием вычисления, рассматриваемого в статье значения, через помещение фигуры в окружность или наоборот. Такая окр-ть называется описанной. Если она находится внутри, то она называется вписанной. Именно в этом разделе возникает большинство вопросов, как найти площадь равностороннего многоугольника с тремя углами.

ОО обязательно должна проходить через все вершины, ВО должна проходить через стороны только в одной точке по касательной.

Если в условии задачи дан радиус вписанной (r) и описанной (R) окр-ти, то из них также допустимо составить выражение, так как вместе они дадут суммарную длину h. Как рассчитывается площадь при ее помощи, показано выше: h = R + r .

Преобразовав формулу Как найти площадь равностороннего треугольника , применив h = R + r, получаем следующее значение: . Данную формулу можно упростить еще больше, ведь R описанной окр-ти можно выразить через r вписанной. Согласно свойствам этих окр-тей R = 2r, где r — это радиус вписанной окр-ти, R — это радиус описанной. Соответственно площадь равностороннего Δ будет высчитываться так: Как найти площадь равностороннего треугольника .

Если же будет дан размер R ОО, то выражение будет выглядеть следующим образом:Как найти площадь равностороннего треугольника .

Использование этих свойств пригодится для расчета стороны. Для того чтобы ее определить нужно воспользоваться выражением Как найти площадь равностороннего треугольника для ОО, и Как найти площадь равностороннего треугольника для ВО.

Учитывая R описанной окр-ти определяют искомое значение при помощи возведения стороны в куб, после чего результат делится на R, увеличенный в 4 раза. Математически его записывают следующим образом: Как найти площадь равностороннего треугольника .

Процесс вычисления, чему равен показатель площади равностороннего треугольника через любую из предложенных формул не должен вызывать особых затруднений. Для того чтобы успешно справиться с этой задачей не нужно запоминать все указанные способы, достаточно запомнить основные общие формулы расчета, а также свойства и признаки этой фигуры.

Для проверки правильности расчетов можно воспользоваться несколькими способами, результаты должны совпасть.

Как найти площадь равностороннего треугольника смотрите в видео:

Также смотрите в видео как найти площадь равностороннего треугольника, вписанного в окружность:

Применив логическое мышление, расчеты с легкостью преобразовываются в частные случаи, коих гораздо больше. Нецелесообразно забивать голову большим количеством нерелевантной информации, лучше развивать причинно-следственную связь для преобразования выражений.

Геометрия — это точная наука, которая не терпит отклонений и недочетов. Для ее изучения нужно запастись колоссальным терпением и быть очень внимательным. То, что на первый взгляд кажется непостижимым и непонятным, после освоения азов станет легким и доступным для понимания. Но все же особое внимание необходимо уделить изучению теорем и формул, так как они являются основой для вычислений таких важных показателей, как объем или площадь. Ее изучение и нужно начинать с таких простых и правильных фигур, как равносторонний треугольник. Он поможет понять основы и не потерять интерес к науке в целом.

Вам помогла статья?
Голосовать ПРОТИВГолосовать ЗА (-1 баллов, 1 оценок)
Загрузка...

Отзывы и комментарии

Вставить формулу как
Блок
Строка
Дополнительные настройки
Цвет формулы
Цвет текста
#333333
Используйте LaTeX для набора формулы
Предпросмотр
\({}\)
Формула не набрана
Вставить
error: Content is protected !!
Adblock
detector