Почему нельзя в математике делить на ноль: формула и правило доказательства

Математика – это интересная наука, которая сначала может ставить определенные запреты, а затем сама же их нарушать. Это хорошо можно проследить, начав изучать высшую алгебру в ВУЗе. Уже тогда вчерашние школьники понимают всю неоднозначность некоторых математических вопросов, к примеру, таких как извлечение квадратного корня или же деление на ноль. Ведь учителя все время твердили, что делить на ноль нельзя. Но не все так однозначно в этом вопросе.

Ноль можно назвать одной из самых интересных цифр. У нее нет значения, она означает пустоту в прямом смысле слова. Однако, если ее поставить рядом с какой-либо цифрой, то значение последней станет больше в несколько раз.

Ноль загадочен сам по себе. Его использовал еще древний народ майя. У майя он означал «начало», а отсчет календарных дней также начинался с него.

Очень интересным фактом является то, что знак ноля и знак неопределенности у них были похожи. Этим майя хотели показать, что 0 является таким же тождественным знаком, как и неопределенность. В Европе же в обиход он вошел сравнительно недавно.

Также многим известен запрет, связанный с нолем. Любой человек скажет, что на него нельзя делить. Это говорят учителя в школе, а дети обычно верят им на слово. Обычно детям либо просто не интересно это знать, либо они знают, что будет, если, услышав важный запрет, сразу же спросить «А почему делить нельзя?». Но когда становишься старше, то просыпается интерес, и хочется побольше узнать о причинах такого запрета. Однако существует разумное доказательство. Чтобы его понять, следует для начала изучить, какие действия в математике можно производить с нулем и как это на нем сказывается. Отдельно следует рассматривать алгебраические операции из высшей математики, так как там действуют несколько иные законы.

Действия с нулем

Для начала необходимо определить, какие действия с нулем можно выполнять. Существует несколько видов, которые объясняют еще в школьной программе:

• сложение;
• умножение;
• вычитание;
• деление;
• возведение в степень.

[stop]Если при сложении к любой цифре прибавить 0, то она останется прежней и не поменяет своего числового значения. То же произойдет, если отнять 0.[/stop]

При умножении и делении все обстоит немного иначе. Если умножить любое число на 0, то и произведение тоже станет нулевым.

Рассмотрим пример:

0*5=0

Запишем это как сложение:

0+0+0+0+0=0

Всего складываемых нолей пять, вот и выходит:

0*5=0

Попробуем один умножить на 0. Результат также будет нулевым.

Ноль можно разделить на любое другое число, не равное ему. В этом случае выходит дробь, значение которой будет нулевым.

Если 0 делить на отрицательное число, то выйдет все тот же 0:

0/(-5)=0

Можно возвести 0 в нулевую степень. В таком случае выйдет 1. При этом важно помнить, что выражение «0 в нулевой степени» абсолютно бессмысленно. Если попытаться возвести его в любую степень, то все-равно будет 0. Пример:

0⁴=0*0*0*0

Пользуемся правилом умножения, получаем 0.

Читайте также: Свойства натуральных логарифмов

Так можно ли делить или нет?

Чтобы понять, можно делить на 0 или нет, обращаемся к высшей математике. Школьные учителя утверждают, что данная цифра — это ничто. То есть когда говорят, что 0 ручек, это значит, что совсем нет ручек. В высшей математике понятие «ноль» более широкое. Оно вовсе не означает пустоту. Здесь это неопределенность, так как если провести исследование, то получается, что при делении 0 на 0 мы можем в результате получить другое число.

Для математиков нет понятий «деление» и «вычитание». Допустим: если от пяти отнять три, то останется два. Так выглядит вычитание. Однако, математики запишут это таким образом:

X+3=5

Таким образом, неизвестной разностью является некое число, которое прибавляют к 3, чтобы вышло 5. То есть, не нужно ничего вычитать, нужно найти подходящий показатель. Это правило действует для сложения.

Иначе дела обстоят с правилами умножения и деления. Известно, что умножение на ноль приводит к нулевому результату. Например, если 3/0=X, тогда, если перевернуть запись, получится 3*X=0. А число, которое умножалось на 0 даст 0 и в произведении. Как результат, числа, которое бы давало в произведении с 0 величину, отличную от ноля, не существует. А значит, деление на ноль бессмысленно, то есть оно подходит к нашему правилу.

Но что будет, если попытаться поделить 0 на себя же? Возьмем как X некую неопределенную цифру. Образуется уравнение 0*X=0. Его можно решить.

Если мы попробуем взять вместо X ноль, то мы получим 0/0=0. Но если вместо X взять, например, 1, и провести деление, то в конечном итоге окажется 0/0=1.

В этом случае выйдет, что в качестве множителя можно использовать другое число. Итогом будет бесконечное множество разных чисел. Деление на 0 имеет смысл, но тогда появляется некое условие, благодаря которому мы сможем все-таки выбрать одну подходящую цифру. Это действие называется «раскрытием неопределенности». В арифметике же деление на ноль снова потеряет смысл, так как не будет возможности выбрать из множеств

Деление на ноль и высшая математика

Школьная арифметика основывалась преимущественно на проведении математических операций с вещественными числами. Большая их часть имеет целый ряд аксиом:

• коммутативность и ассоциативность сложения и умножения;
• существование 0 и 1;
• существование обратного и противоположного элементов.

Кроме этого для вычисления их свойств применяют еще 2 аксиомы – порядка и непрерывности. Так как деление – это процедура противоположная умножению, то при ее проведении возникает 2 проблемы.

Проблема первая – если провести деление на 0, то полученный результат не будет возможности проверить при помощи умножения. Каким бы числом не выступало частное, если его умножить на 0, то делимое все-равно не выйдет получить.

Проблема вторая – если разделить 0 на 0, в итого ответом может выступать любая цифра, которая в случае перемножения с делителем станет нулем.

Все это стало причиной табу в школьной программе на такую операцию, как деление на 0. Но в высшей математике есть возможность его обойти. Например, если построить другую алгебраическую структуру, которая будет отличаться от привычной нам числовой прямой. Примером может служить колесо. У него иные правила и законы. Одним из них является следующий – деление никаким образом не привязано к умножению и трансформируется из бинарной операции в унарную.

Делить на 0 в высшей математике можно, но для этого потребуется выйти за рамки привычного представления о законах и операциях в алгебре.

Ноль и бесконечность

Бесконечность часто встречается в высшей математике. Так как школьникам просто не важно знать о том, что существуют еще математические действия с ней, то и объяснить детям, почему деление на 0 выполнить нельзя, учителя как следует не могут.

Математические секреты ученики начинают узнавать на первом курсе института. Высшая математика предоставляет комплекс задач, которые не имеют решения. Самыми известными являются задачи с бесконечностью. Их решают при помощи математического анализа.

К бесконечности применимы математические действия: сложение, умножение. Еще применяют вычитание и деление, но в конечном итоге они все равно сводятся к двум простейшим операциям.

Но что будет, если попытаться:

1. Бесконечность умножить на 0. По идее, если попробуем умножить на 0 любое число, то получим 0. Но бесконечностью является неопределенное множество цифр. Так как мы не можем выбрать из этого множества одну, то выражение ∞*0 не имеет решения и является абсолютно бессмысленным.
2. Ноль делить на бесконечность. Здесь происходит та же история, что и выше. Не можем выбрать одну цифру, а значит не знаем на что разделить. Выражение не имеет смысла.

Теперь попробуем поделить бесконечность на 0. Должна выйти неопределенность. Но если попробуем заменить деление умножением, то получится определенный ответ.

Например: ∞/0=∞*1/0= ∞*∞ = ∞.

Как результат, выходит такой математический парадокс.

Ответ, почему нельзя делить на ноль:

Мысленный эксперимент, пробуем делить на ноль:

Итак, теперь известно, что 0 подчиняется практически всем операциям, которые производят с обычными числами, кроме одной единственной. На 0 делить нельзя только потому, что в результате получается неопределенность.