Как определить признак параллельности прямой и плоскости, теорема
Начальная геометрия изучает понятия и соотношение объектов. Без четкого обоснования нельзя ориентироваться в прикладной области. Признак параллельности прямой и плоскости – первый шаг в геометрию пространства. Овладение начальными категориями позволит приблизиться к увлекательному миру точности, логики, ясности.
Соотношение объектов: возможные варианты
Стереометрия – инструмент познания мира. Она рассматривает отношение объектов друг к другу, учит вычислять расстояния без линейки. Успешная практика требует овладеть основными понятиями.
Имеется поверхность а и линия l. Есть три случая соотношения объектов. Их определяют точки пересечения. Легко запомнить:
- 0 точек — параллельны;
- 1 точка — взаимно пересекаются;
- бесконечно много — прямая лежит в плоскости.
Легко описать признак параллельности объектов. На поверхности а существует линия с || l, то l || а.
Простое заявление требует доказательства. Пусть поверхность проведена через линии: l || c. В Ω а = с. Пусть l имеет с а общую точку. Она должна лежать на с. Это противоречит условию: l || c. Тогда l параллельна плоскости a. Начальное положение верно.
[stop]Важно! В пространстве существует хотя бы одна линия || плоской поверхности. Это созвучно утверждению начальной геометрии (планиметрии).[/stop]
Простая мысль: а принадлежит больше одной точки l, значит прямая l целиком принадлежит а.
a || l только в случае отсутствия единственной точки пересечения.
Это логичное определение параллельности прямой и плоскости.
Легко найти практическое применение положения. Как доказать, что одна прямая параллельна плоскости?
Достаточно использовать исследованный признак.
Это интересно! Что такое деление с остатком: примеры для ребенка в 3, 4 классе
Что полезно знать
Для грамотного решения задач требуется изучить дополнительные расположения предметов. Основа — признак параллельности прямой и плоскости . Его применение облегчит понимание других элементов. Геометрия пространства рассматривает частные случаи.
Пересечения в стереометрии
Объекты прежние: плоская поверхность а, линии с, l. Как они соседствуют? С || l. L пересекает а. Легко понять: с обязательно пересечет а. Эта мысль — лемма о пересечении плоскости параллельными прямыми.
Поле деятельности расширяется. К исследуемым объектам добавляется поверхность в. Ей принадлежит l. В исходных объектах ничего не меняется: l || а. Опять получается просто: в случае пересечения плоскостей общая линия d || l. Сразу вытекает понятие: какие две плоскости называются пересекающимися. Те, которые имеют общую прямую.
Это интересно! Легкие правила округления чисел после запятой
Какие теоремы требуется изучить
Главные понятия отношения предметов приводят к описанию основных утверждений. Они требуют развернутого доказательства. Первая: теоремы о параллельности одной прямой и плоскости. Рассматриваются разные случаи.
- Объекты: поверхности P, Q, R, прямые АB, CD. Условие: P||Q, R их пересекает. Естественно, АB||CD.
- Предметы исследования: линии AB, CD, A1B1, C1D1. AB пересекается с CD в одной плоскости, A1B1 — с C1D1 в другой. AB||A1B1, CD||C1D1. Вывод: поверхности, включающие пересекающиеся попарно параллельные линии, ||.
Возникает новое понятие. Скрещивающиеся прямые сами не параллельны, хотя лежат в параллельных плоскостях. Это C1D1 и АВ, А1В1 и CD. Это явление широко применяется в практической стереометрии.
Естественное заявление: через одну из скрещивающихся линий реально проходит единственная параллельная указанной плоскость.
- Дальше легко прийти к теореме о следе. Это третье из утверждений о параллельности прямой и поверхности. Есть прямая l. Она || а. l принадлежит в. В Ω а = d. Единственно возможный вариант: d || l.
[stop]Важно! Прямая и плоскость называются || при отсутствии общих объектов — точек.[/stop]
Свойства параллельности и их доказательства
Легко прийти к понятию расположения плоских поверхностей:
- пустое множество общих точек (называются параллельными);
- пересекаются по прямой.
В стереометрии находят применение свойства параллельности. Любая пространственная картинка имеет поверхности и линии. Для успешного решения задач требуется изучить основные теоремы:
- Исследуемые объекты: a || b; c Ω b = l, c Ω a = m. Вывод: l ||m. Предположение требует доказательства. Расположение l и m одно из двух: пересекаются или параллельны. Но во втором случае поверхности не имеют общих точек. Тогда l || m. Утверждение доказано. Следует запомнить: если прямая лежит в плоскости, то они имеют более одной точки пересечения.
- Имеются поверхность а, точка А не принадлежит а. Тогда существует только одна поверхность b || a, проходящая через А. Доказать положение просто . Пусть l Ω m; l, m принадлежат а. Через каждую из них и А строится плоскость. Она пересекает а. В ней существует линия, проходящая через А и || а. В точке А они являются пересекающимися. Они образуют единственную поверхность b || a.
- Существуют скрещивающиеся прямые l и m. Тогда имеются || поверхности а и b, которым принадлежат l и m. Логично поступить так: на l и m выбрать произвольные точки. Провести m1 || m, l1 || l. Пересекающиеся линия попарно || => a || b. Положение доказано.
Знание свойств параллельности одной прямой и плоскости позволит умело применять их на практике. Простые и логичные доказательства помогут ориентироваться в увлекательном мире стереометрии.
Это интересно! Вычисление радиуса: как найти длину окружности зная диаметр
Плоскости: оценка параллельности
Описать понятие просто. Вопрос: что значит, одна прямая и плоскость параллельны, решен. Исследование начальных категорий геометрии пространства привело к более сложному утверждению.
При решении прикладных задач применяется признак параллельности. Простое описание: пусть l Ω m, l1 Ω m1, l, m принадлежат а, l1, m1 – b. При этом l || l1, m || m1. Тогда a || b.
Без применения математических символов: плоскости называются параллельными, если проведены через пересекающиеся попарно параллельные прямые.
Стереометрия рассматривает свойства параллельных плоскостей . Их описывают теоремы:
Исследуемые объекты: a || b, a Ω c = l, b Ω c = m. Тогда l || m. Очевидно доказательство. и Прямые лежат в одной плоскости, если они || или пересекаются. Следует применить утверждение о параллельности прямой и поверхности. Тогда становится очевидно: пересекаться l и m не могут. Остается единственное – l || m.
Следующая теорема описывает свойства параллельных плоскостей. Пусть существуют некоторые поверхности a || b. Их пересекают прямые l || m. Тогда ограниченные a и b отрезки равны. Доказательство вытекает из свойства параллельных прямых.
[stop]Важно! Всегда существует прямая, проходящая через данную точку, которая параллельна плоскости.[/stop]
Положение в пространстве: какие линии параллельны
Легко понять, какие линии || L ||m, если:
- они принадлежат одной поверхности;
- не имеют общих точек.
Свойства описывают теоремы:
- В пространстве существует произвольная точка А. Она не лежит на прямой l. Тогда через А проходит единственная прямая m || l.
- В пространстве имеются линии l, m, k. Если l || k, m || k => что прямая l || m.
Это интересно! Изучаем математику в игровой форме: как ребенку быстро выучить таблицу умножения
Признаки параллельности прямой и плоскости
Параллельность прямой и плоскости
Вывод
Мир стереометрии полон увлекательных загадок, противоречий. Начальные навыки приводят к пониманию сложных композиций. Изучение главных теорем, аксиом служит гимнастикой для ума. Не стоит бояться специальных терминов: следует попытаться изложить проблему понятным языком.
Это интересно! Обратная теорема о трех перпендикулярах