Свойства треугольника, вписанного в окружность: формулы площади и радиуса
Геометрия – это раздел математики, который занимается решением вопросов, связанных с размером, формой, относительным положением фигур и свойствами пространства. Человек постоянно сталкивается с ней в повседневной жизни, ведь все, что его окружает – это геометрические фигуры (стены, потолок, техника и прочее). Поэтому необходимо иметь хотя бы минимальное представление о ее ключевых законах и фигурах. Вписанный треугольник в окружность – это треугольник, все вершины которого располагаются на окружности. Его также можно встретить в жизни. Например, по типу этого геометрического элемента создаются детали для машин.
Геометрия как систематическая и точная наука появилась в Древней Греции. Ее первые аксиоматические построения описаны в «Началах» Евклида. В то время эта наука занималась преимущественно изучением простейших фигур в пространстве и на плоскости, определением их площади и объема.
В 1637 году Декарт представил свой координатный метод, который стал фундаментом для дифференциальной и аналитической геометрии. Несколько позже были созданы еще 2 вида – проективная и начертательная. Но существенных изменений или отклонений от аксиоматического подхода Евклида в это время не происходило. Лишь в 1829 году произошли коренные изменения. Ученый Лобачевский отказался от аксиомы параллельности и создал совершенно инновационную неевклидовую геометрию. Именно это послужило толчком к дальнейшему развитию геометрии как науки и созданию новых теорий. Одна из таких касается вписанного треугольника в окружность.
Какая окружность вписана, а какая описана
Прежде всего вспомним, что окружностью называется бесконечное множество точек, удаленных на одинаковом расстоянии от центра. Если внутри многоугольника допускается построить окружность, которая с каждой стороной будет иметь только одну общую точку пересечения, то она будет называться вписанной (ВО). Описанной окружностью (ОО) называется такое геометрическое место точек, при котором у построенной фигуры с заданным многоугольником общими точками будут только вершины многоугольника.
На изображении построены две фигуры большого и малого диаметров, центры которых находятся G и I. Окружность большего значения называется описанной окр-тью Δ ABC, а малого – наоборот, вписанной в Δ ABC. С помощью такого наглядного примера проще разобраться с данными геометрическими фигурами и их основными свойствами. В целом же, геометрия — это более наглядная наука. Это говорит о том, что намного легче воспринимать информацию, формулы, теоремы, если видеть их изображение или даже чертить самому. Все же зрительная память у большей части людей развита лучше, чем, например, слуховая.
Для того чтобы описать вокруг треугольника окр-ть, требуется провести через середину каждой стороны перпендикулярную прямую – это точка пересечения, она играет ключевую роль. Перед тем как найти окр-ть, ее центр в многоугольнике, требуется построить для каждого угла биссектрису, после чего выделить точку пересечения прямых. Она в свою очередь будет центром ВО, а ее радиус (R) при любых условиях будет перпендикулярен любой из сторон.
[warning]В любой треугольник можно вписать окр-ть, притом только одну. Потому что существует только одна точка пересечения всех биссектрис и перпендикуляров, исходящих из середин сторон.[/warning]
Свойство окружности, которой принадлежат вершины треугольника
Описанная окр-ть, которая зависит от длин сторон при основании, имеет свои свойства. Укажем свойства описанной окружности:
- Центр ОО для прямоугольного треугольника находится на середине гипотенузы, у острого – внутри самого треугольника, а для тупоугольного – за ее пределами.
- Диаметр любой ОО равен половине отношения стороны и синуса угла, который принадлежит ей, в виде формулы можно представить следующим образом:
- Зная радиус ОО и значения углов, можно найти площадь, не прибегая к использованию длин сторон:
Для того чтобы более наглядно понять принцип ОО, решим простое задание. Допустим, что дан Δ ABC, стороны которого 10, 15, 8,5 см. Радиус ОО около треугольника (FB) составляет 7,9 см. Найти градусные меры каждого угла и через них площадь (S) фигуры.
Решение: опираясь на ранее указанную теорему синусов, найдем синус каждого угла. По условию известно, что сторона АВ равна 10 см. Определяем значение С:
Используя таблицу Брадиса, узнаем, что градусная мера С равна 39°. Таким же методом найдем и остальные меры:
Откуда узнаем, что CAB = 33°, а ABC = 108°. Теперь, зная значения синусов каждого из углов и R, найдем S:
Ответ: S фигуры равна 40,31 см², а углы равны соответственно 33°, 108° и 39°.
[stop]Решая задачи подобного плана, будет нелишним всегда иметь таблицы Брадиса либо соответствующее приложение на смартфоне, так как вручную процесс может затянуться на длительное время. Также для большей экономии времени не требуется обязательно строить все три середины перпендикуляра либо три биссектрисы. Любая третья из них всегда будет пересекаться в месте пересечения первых двух. Этот совет можно взять на вооружение школьникам и студентам.[/stop]
Исчисление радиуса вписанной окружности
Все точки окружности одинаково удалены от ее центра на одинаковом расстоянии. Длину этого отрезка называют радиусом (R). В зависимости от того, какую окружность мы имеем, различают два вида – внутренний и внешний. Каждый из них вычисляется по собственной формуле, имеет прямое отношение к вычислению таких параметров, как:
- площадь (S);
- градусная мера каждого угла;
- длины сторон, периметр.
Вычислить длину расстояния от центра до точки соприкосновения с любой из сторон можно такими способами: через стороны, высоты, боковые стороны, углы (для равнобокого треугольника).
Использование полупериметра
Полупериметром называется половина суммы длин всех сторон. Такой способ считается самым популярным и универсальным, потому как независимо от того, какой тип треугольника дан по условию, он подходит для всех. К тому же, формулу запомнить легко. Порядок вычисления имеет следующий вид:
Если дан «правильный»
У равностороннего треугольника есть одна интересная особенность – у него совпадают медианы, высоты и биссектрисы. То есть, именно те отрезки, которые выступают также серединными перпендикулярами. Это означает, что центры, как вписанной, так и описанной окружности совпадают. Это удобно при построении фигур и проведении вычислений. Однако в 80% случаев ответ получается «некрасивым». Тут имеется ввиду, что очень редко радиус ВО будет целым натуральным числом, скорее наоборот. Для упрощенного исчисления используется формула R ВО в треугольник:
Если боковины одинаковой длины
Одним из подтипов задач на гос. экзаменах будет нахождение радиуса ВО треугольника, две стороны которого равны между собой, а третья нет. В таком случае рекомендуем использовать этот алгоритм, который даст ощутимую экономию времени на поиск диаметра. R вписанной окружности в треугольник с равными «боковыми» вычисляется так:
Более наглядное применение указанных формул продемонстрируем на следующем задании. Пускай имеем треугольник (Δ HJI), в который вписана окр-ть в точке K. Длина HJ = 16 см, JI = 9,5 см и HI равна 19 см (рисунок ниже). Определить R вписанной окр-ти, зная стороны.
Решение: для нахождения R найдем полупериметр:
Отсюда, зная механизм вычисления, узнаем следующий показатель. Для этого понадобятся длины каждой из сторон (дано по условию), а также половину периметра, получается:
Отсюда следует, что искомый R равен 3,63 см. Согласно условию, все стороны равны, тогда искомый R будет:
При условии, если многоугольник равнобокий (например, i = h = 10 см, j = 8 см), диаметр внутренней окр-ти с центром в точке K будет:
В условии задачи может даваться треугольник с углом 90°, в таком случае гипотенуза фигуры будет равна диаметру. Более наглядно это выглядит так:
[stop] Если задано задание на поиск внутреннего R, не рекомендуем проводить вычисления через значения синусов и косинусов углов, табличное значение которых точно не известно. В случае, если иначе узнать длину невозможно, не пытайтесь «вытащить» значение из-под корня. В 40% заданий полученное значение будет трансцендентным (т. е. бесконечным), а комиссия может не засчитать ответ (даже если он будет правильным) из-за его неточности или неправильной формы подачи. Особое внимание уделите тому, как может видоизменяться формула R описанной окружности многоугольника в зависимости от предложенных данных.[/stop]
Радиус внутренней окружности и площадь
Для того чтобы вычислить S треугольника, вписанного в окружность, используют лишь R и длины сторон многоугольника:
Если в условии напрямую не дана величина радиуса, а только S, то указанная формула трансформируется в следующую:
Рассмотрим действие последней формулы на более конкретном примере. Предположим, что дан треугольник, в который вписана окр-ть. Площадь вписанной окр-ти составляет 4π, а стороны равны соответственно 4, 5 и 6 см. Вычислим S заданного многоугольника при помощи полупериметра.
Используя вышеуказанный алгоритм, определим S через R вписанной окр-ти:
В силу того, что в любой многоугольник можно вписать окружность, число вариаций нахождения площади значительно увеличивается. Т.е. поиск его S, включает в себя обязательное знание длины каждой стороны, а также величину радиуса.
Треугольник, вписанный в окружность геометрия 7 класс:
Прямоугольные треугольники, вписанные в окружность:
Из указанных примеров можно убедиться, что сложность любого задания с использованием ВО и ОО заключается только в дополнительных действиях по поиску требуемых значений. Задачи подобного типа требуют только досконально понимания сути формул, а также рациональности их применения.
Итак, мы смогли доказать, что в любой треугольник можно вписать окружность, центр которой будет совпадать с точкой пересечения биссектрис этого самого треугольника. Также доказали, что около любого многоугольника также можно описать окружность и ее центр совпадет с точкой пересечения серединных перпендикуляров. В изучении такой точной науки, как геометрия, важно не просто следовать предоставленным формулам и заучивать теоремы. Безусловно, формулы важны и без них проводить правильные расчеты просто не будет никакой возможности. Но все же необходимо вникнуть и понять, как располагаются фигуры на плоскости и в пространстве, как к ним применима та или иная формула.
(-6 баллов, 8 оценок)
Загрузка...