Обратная теорема о трех перпендикулярах

В этой статье рассмотрена одна из самых важных теорем в стереометрии – теорема о трех перпендикулярах. Важность ее заключается в том, что прежде чем переходить к решению сложных фигур – сфер, пирамид и параллелепипедов, необходимо владеть основными законами, возникающими при взаимодействиях прямых в пространстве.

Базовые понятия

Для понимания сути теоремы нужно владеть базовыми понятиями планиметрии.

Сплошь и рядом в геометрии используется понятие угол. Измеряются они в градусах или радианах. Радианы – незаменимая размерность в тригонометрии, градусы более привычны нам, потому что пришли из реальной жизни.

0 град., 90 град., 180 град. – три типа углов, которые понятны нам не только геометрически, но и интуитивно. 90 град. (или прямой) – самый, вероятно, популярный тип, потому что активно встречается в повседневной жизни.

Перпендикулярностью назовем такое соотношения между фигурами (прямыми, плоскостями и т.д.), при котором угол между ними составляет 90 градусов.

[warning]Внимание! Перпендикуляр – это прямая, которая составляет угол 90 град. с другими прямыми или плоскостями.[/warning]

Изучим терминологию на реальных примерах:

Имеется плоскость α. С – точка, не лежащая на плоскости. СВ – отрезок, опущенный из точки С на плоскость α и составляющий с плоскостью прямой угол. Таким образом СВ ⊥ α. Обозначим наклонную, т.е. луч, выходящий тоже из С. Он пересекает α в точке А. АВС – прямоугольный треугольник, поскольку СВА равен 90 град.

Теорема

Несмотря на всю свою простоту, теорема о трех перпендикулярах связывает между собой углы, находящиеся в различных плоскостях, поэтому данный закон считается довольно глобальным в геометрии.

Картина такая же, как в предыдущем разделе: есть α, точка А, лежащая за пределами α. Из этой точки опущен перпендикуляр, имеющий основание В, также проведен отрезок АС (который является наклонной).

Вот как звучит формулировка теоремы о трех перпендикулярах:

Если через основание проведенной наклонной проходит прямая и она образует угол 90 град. с проекцией, то она образует такой же угол с ее наклонной.

Таким образом, теорема гласит, что, если между с и ВС – прямой угол, то он прямой между с и АС.

Докажем данную теорему:

• ВА – отрезок,составляющий с плоскостью α угол 90 град.;
• СА – отрезок прямой, являющейся наклонной;
• с – проходит через точку С и образует прямой угол с отрезком ВС.

Проводим КС || ВА. Значит, он составляет угол 90 град. по отношению к α. Это означает, что он составляет углы 90 град. со всеми прямыми, находящимися в α. Между КС и с — угол 90 градусов, поскольку она тоже принадлежит α.

Любые два отрезка, которые параллельны друг другу, задают плоскость. Поэтому существует плоскость β через отрезки ВА и КС. Прямая с ⊥ СВ и с ⊥ КС, т.е. она составляет угол 90 град. с каждой прямой, принадлежащей β, отрезку СА в том числе.

Нам удалось доказать теорему о трех перпендикулярах.

Обратная теорема о трех перпендикулярах

Приведем точную формулировку обратной теоремы.

Если через основание проведенной наклонной проходит прямая и она составляет с наклонной угол 90 градусов, то она образовывает такой же угол с ее проекцией.

Таким образом, теорема гласит, что, если между с и АС – прямой угол, то он прямой между с и ВС.

Докажем данную теорему:

• ВА – отрезок, составляющий с плоскостью α угол 90 град.;
• СА – отрезок прямой, являющейся наклонной;
• с – проходит через точку С и имеющая прямой угол с отрезком ВС.

Проводим КС || ВА. Значит, он составляет угол 90 градусов по отношению к α. Это означает, что он составляет углы 90 градусов со всеми прямыми, находящимися в α. Между КС и с – угол 90 град., поскольку она тоже принадлежит α.

Любые два отрезка, которые параллельны друг другу, задают плоскость. Поэтому существует плоскость β через отрезки ВА и КС. Прямая с ⊥ СВ и с ⊥ КС, т.е. она составляет угол 90 градусов с каждой прямой, принадлежащей β, отрезку СА в том числе.

Применение теоремы

Мы привели вам доказательство теоремы о трех перпендикулярах и обратной теоремы. Как вы могли убедиться, для доказательства нам понадобились самые простейшие и базовые аксиомы стереометрии. Сама теорема о трех перпендикулярах имеет крайне широкое применение в решении различных задач.

[warning]Внимание! Не существует такой математической задачи, которая не имеет аналогий в реальной, повседневной жизни. Когда речь заходит о геометрии, особенно о стереометрии, то это становится заметным еще больше.[/warning]

Для того чтобы показать вам широту применения доказанной нами теоремы, рассмотрим две интересные задачи с ее применением.

Задача 1

В треугольник вписана окружность. Через центр этой окружности О проведена прямая SO, составляющая с плоскостью треугольника угол 90 градусов. Правильно ли утверждение, что точка S удалена от сторон на одинаковое расстояние?

Решение:

Поскольку радиус окружности ОА составляет со стороной треугольника (как радиус и касательная к окружности) 90 град., то по теореме о трех перпендикулярах SA составляет со стороной треугольника угол 90 град.

Проанализируем SAO. Поскольку SO составляет с плоскостью, в которой расположен треугольник, угол 90 град., то SAO является прямоугольным треугольником, к которому можно применить теорему Пифагора:

,

где r = АО = ВО = СО — радиус окружности.

Рассматривая SOB и SOC и применяя к ним те же самые вычисления, получаем их гипотенузы:

 и

Таким образом, видим, что SA=SB=SС. Это означает, что да, точка S удалена от сторон на одинаковое расстояние.

Задача 2

Есть прямоугольный треугольник АВС. Высота СН равна 9,6. Из угла С (90 град.) к плоскости треугольника проведен отрезок СМ, который образует перпендикулярность с плоскостью. Его длина равна 28. Найдите кратчайшую длину отрезка между М и гипотенузой.

Ознакомимся с решением:

СН является высотой, МН можно рассматривать как наклонную.

Тогда СН является не только высотой треугольника, но и проекцией МН на плоскость треугольника.

Поскольку между СН и АВ угол 90 град., то по рассматриваемой выше теореме МН ⊥ АВ (наклонная прямой). Таким образом, МН и есть кратчайший отрезок между точкой М и АВ.

МСН – прямоугольный треугольник, поскольку МС ⊥ СН. А значит, можно применить теорему Пифагора:

Длина искомого отрезка найдена.

Полезное видео: доказательство теоремы о трех перпендикулярах

 

Полезное видео: задача на теорему о трех перпендикулярах

Вывод

Таким образом, мы узнали, что такое теорема о трех перпендикулярах, научились ее доказывать, увидели, каким образом она может быть применена в реальных задачах. Кроме того, мы повторили ключевые вопросы планиметрии. Теорема о трех перпендикулярах является одной из важнейших теорем стереометрии, без которой невозможно решение почти не одной задачи.