Вычисляем сумму углов и площадь параллелограмма: свойства и признаки

Вычисляем сумму углов и площадь параллелограмма: свойства и признаки

Как в евклидовой геометрии точка и прямая — главные элементы теории плоскостей, так и параллелограмм является одной из ключевых фигур выпуклых четырехугольников. Из него, как нитки из клубка, втекают понятия «прямоугольника», «квадрата», «ромба» и других геометрических величин.

...

Оглавление:

Определение параллелограмма

 Выпуклый четырехугольник, состоящий из отрезков, каждая пара из которых параллельна, известен в геометрии как параллелограмм.

Как выглядит классический параллелограмм изображает четырехугольник ABCD. Стороны называются основаниями (AB, BC, CD и AD), перпендикуляр, проведенный из любой вершины на противоположную этой вершине сторону, — высотой (BE и BF), линии AC и BD — диагоналями.

 с  параллелограмм свойства и признаки
Внимание! Квадрат, ромб и прямоугольник — это частные случаи параллелограмма.

Стороны и углы: особенности соотношения

 Ключевые свойства, по большому счету, предопределены самим обозначением, их доказывает теорема. Эти характеристики следующие:

  1. Стороны, которые являются противоположными, — попарно одинаковые.
  2. Углы, расположенные противоположно друг другу — попарно равны.

Доказательство: рассмотрим ∆ABC и ∆ADC, которые получаются вследствие разделения четырехугольника ABCD прямой AC. ∠BCA=∠CAD и ∠BAC=∠ACD, поскольку AC для них общая (вертикальные углы для BC||AD и AB||CD, соответственно). Из этого следует: ∆ABC = ∆ADC (второй признак равенства треугольников).

Отрезки AB и BC в ∆ABC попарно соответствуют линиям CD и AD в ∆ADC, что означает их тождество: AB = CD, BC = AD. Таким образом, ∠B соответствует ∠D и они равны. Так как ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, которые так же попарно одинаковые, то ∠A = ∠C. Свойство доказано.

с

Характеристики диагоналей фигуры

 Основной признак этих линий параллелограмма: точка пересечения разделяет их пополам.

Доказательство: пусть т. Е — это точка пересечения диагоналей AC и BD фигуры ABCD. Они образуют два соизмеримых треугольника — ∆ABE и ∆CDE.

AB=CD, так как они противоположные. Согласно правилу параллельных прямых и секущей, ∠ABE = ∠CDE и ∠BAE = ∠DCE.

По второму признаку равенства ∆ABE = ∆CDE. Это означает, что элементы ∆ABE и ∆CDE: AE = CE, BE = DE и при этом они соразмерные части AC и BD. Свойство доказано.

Параллелограмм свойства и признаки

Особенности смежных углов

 У смежных сторон сумма углов равна 180°, поскольку они лежат по одну сторону параллельных линий и секущей. Для четырехугольника ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Свойства биссектрисы:

  1. биссектрисы, опущенные на одну сторону, являются перпендикулярными;
  2. противолежащие вершины имеют параллельные биссектрисы;
  3. треугольник, полученный проведением биссектрисы, будет равнобедренным.

Определение характерных черт параллелограмма по теореме

Признаки этой фигуры вытекают из ее основной теоремы, которая гласит следующее: четырехугольник считается параллелограммом в том случае, если его диагонали пересекаются, а эта точка разделяет их на равные отрезки.

Доказательство: пусть в т. Е прямые AC и BD четырехугольника ABCD пересекаются. Так как ∠AED = ∠BEC, а AE+CE=AC BE+DE=BD, то ∆AED = ∆BEC (по первому признаку равенства треугольников). То есть ∠EAD = ∠ECB. Они также являются внутренними перекрестными углами секущей AC для прямых AD и BC. Таким образом, по определению параллельности — AD || BC. Аналогичное свойство линий BC и CD выводится также. Теорема доказана.

Параллелограмм свойства и признаки

Вычисление площади фигуры

 Площадь этой фигуры находится несколькими методами, одним из самых простых: умножения высоты и основания, к которому она проведена.

Доказательство: проведем перпендикуляры BE и CF из вершин B и C. ∆ABE и ∆DCF — равные, поскольку AB = CD и BE = CF. ABCD — равновеликий с прямоугольником EBCF, так как они состоят и соразмерных фигур: SABE и SEBCD, а также SDCF и SEBCD. Из этого следует, что площадь этой геометрической фигуры находится так же как и прямоугольника:

SABCD = SEBCF = BE×BC=BE×AD.

Для определения общей формулы площади параллелограмма обозначим высоту как hb, а сторону — b. Соответственно:

параллелограмм свойства и признаки

параллелограмм свойства и признаки

Другие способы нахождения площади

 Вычисления площади через стороны параллелограмма и угол, который они образуют, — второй известный метод.

параллелограмм свойства и признаки,

где:

Sпр-ма — площадь;

a и b — его стороны

α — угол между отрезками a и b.

Этот способ практически основывается на первом, но в случае, если высота неизвестна. Перпендикуляр всегда отрезает прямоугольный треугольник, параметры которого находятся тригонометрическими тождествами, то есть параллелограмм свойства и признаки. Преобразуя соотношение, получаем параллелограмм свойства и признаки . В уравнении первого способа заменяем высоту этим произведением и получаем доказательство справедливости этой формулы.

Через диагонали параллелограмма и угол, который они создают при пересечении, также можно найти площадь.

Доказательство: AC и BD пересекаясь, образуют четыре треугольника: ABE, BEC, CDE и AED. Их сумма равна площади этого четырехугольника.

Площадь каждого из этих ∆ можно найти за выражением параллелограмм свойства и признаки, где a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Поскольку параллелограмм свойства и признаки , то в расчетах используется единое значение синуса. То есть параллелограмм свойства и признаки . Поскольку AE+CE=AC= d1 и BE+DE=BD= d2, формула площади сводится до:

параллелограмм свойства и признаки.

Применение в векторной алгебре

 Особенности составляющих частей этого четырехугольника нашли применение в векторной алгебре, а именно: сложении двух векторов. Правило параллелограмма утверждает, что если заданные векторы параллелограмм свойства и признаки и параллелограмм свойства и признаки   не коллинеарны, то их сумма будет равна диагонали этой фигуры, основания которой соответствуют этим векторам.

Доказательство: из произвольно выбранного начала — т. о. — строим векторы параллелограмм свойства и признаки и параллелограмм свойства и признаки. Далее строим параллелограмм ОАСВ, где отрезки OA и OB — стороны. Таким образом, ОС лежит на векторе параллелограмм свойства и признаки или сумме параллелограмм свойства и признаки.

параллелограмм свойства и признаки

Формулы для вычисления параметров параллелограмма

Тождества приведены при следующих условиях:

  1. a и b, α — стороны и угол между ними;
  2. d1 и d2 , γ — диагонали и угол в точке их пересечения;
  3. ha и hb — высоты, опущенные на стороны a и b;

 

Параметр Формула
Нахождение сторон
по диагоналям и косинусу угла между ними  параллелограмм свойства и признаки

параллелограмм свойства и признаки

по диагоналям и стороне  параллелограмм свойства и признаки

параллелограмм свойства и признаки

через высоту и противоположную вершину  параллелограмм свойства и признаки

параллелограмм свойства и признаки

Нахождение длины диагоналей
по сторонам и величине вершины между ними  параллелограмм свойства и признаки

параллелограмм свойства и признаки

по сторонам и одной из диагоналей  Параллелограмм свойства и признаки

Параллелограмм свойства и признаки

Нахождение периметра
через стороны  Параллелограмм свойства и признаки
по диагоналям и стороне  Параллелограмм свойства и признаки
по стороне, углу между ними и высоте  Параллелограмм свойства и признаки

Параллелограмм свойства и признаки

Вычисление площади
при известных сторонах и перпендикуляру из вершины  Параллелограмм свойства и признаки
по сторонам и углу, который они создают  Параллелограмм свойства и признаки
по диагоналям и углу, который они создают  Параллелограмм свойства и признаки
Важно! Способов вычисления параметров этой фигуры значительно больше, однако, почти все из них вытекают или из ее свойств, или преобразуются друг из друга.

Геометрия 8 класс. Параллелограмм, свойства параллелограмма

Признаки параллелограмма

Вывод

 

Параллелограмм как одна из ключевых фигур геометрии находит применение в жизни, например, в строительстве при подсчете площади участка или других измерений. Поэтому знания об отличительных признаках и способах вычисления различных его параметров могут пригодится в любой момент жизни.

Вам помогла статья?
Голосовать ПРОТИВГолосовать ЗА
Пока оценок нет
Загрузка...

Отзывы и комментарии

Вставить формулу как
Блок
Строка
Дополнительные настройки
Цвет формулы
Цвет текста
#333333
Используйте LaTeX для набора формулы
Предпросмотр
\({}\)
Формула не набрана
Вставить
Adblock detector